Cours d'Algèbre I à l'ENS
Gaëtan Chenevier
Ceci est une archive du cours d'Algèbre 1 que j'ai enseigné aux étudiants de première année de l'ENS entre 2021 et 2024 (26 séances, 1h30 chacune).
➔ La dernière version du poly du cours (04/11/2024, 422 p.).
En plus du cours, le manuscript ci-dessus contienent plus de 300 exercices, 6 sujets d'examen, et de très nombreux corrigés.
Il est plus à jour que les notes ci-dessous, qui sont celles du cours tel que je l'ai enseigné en 2023-2024.
Programme du cours:
1. Ensembles quotients (cours1, compléments, exercices, corrigés)- Partitions, fibres et relations d'équivalences
- Passage au quotient
- Sections, axiome du choix et représentants
- Le lemme de Zorn
- Complément : Démonstration du lemme de Zorn et Théorème de Zermelo
- Exemples de groupes
- Morphismes et isomorphismes
- Groupes cycliques
- Théorème de Lagrange
- Groupe multiplicatif d'un corps et (Z/nZ)^*
- Groupes quotients
- Complément I: Groupes usuels
- Complément II: Groupes libres
- Caractères et y^2=x^3+1 sur Z/pZ
- Décomposition de Fourier finie
- Structure des groupes abéliens finis
- Groupes abéliens de type fini
- Complément I: Déterminant d'un groupe abélien fini
- Complément II: Réseaux et sous-groupes fermés de R^n
- Complément III: Courbes elliptiques (culturel)
- Actions de groupes
- Groupes symétriques et alternés
- Les cas n ≤ 5
- Le langage des suites exactes
- Le dévissage de S_n
- Commutateurs et groupe dérivé
- Produits semi-directs
- Complément I : Le théorème de Jordan-Hölder
- Complément II : Groupe de Galois d'un polynôme (culturel)
- Complément III : Le groupe affine et un théorème de Galois
- Sous-groupes finis de O(2) et SO(3)
- Sp(1) et géométrie euclidienne en dimensions 3 et 4
- Groupes linéaires et simplicité de PSL_n(k)
- Le groupe PGL_2(k) et quelques (iso)morphismes miraculeux
- Complément I : Polytopes réguliers (culturel)
- Complément II : Frises et papiers peints (culturel)
- Complément III : Groupes unitaires et un théorème de Jordan
- p-groupes
- Théorèmes de Sylow
- Théorème de Schur-Zassenhaus
- Théorème de Hall
- Extensions et cohomologie
- Complément I : Groupes nilpotents finis
- Complément II : La caractérisation de Burnside-Dickson-Pazderski
- Complément III : Générateurs et automorphismes d'un p-groupe
- Anneaux Z[√d]
- Vocabulaire de la divisibilité
- Anneaux factoriels
- Idéaux
- Anneaux principaux et euclidiens
- L'anneau Z[i] et sommes de deux carrés
- Une équation diophantienne
- Complément I : Anneaux quotients
- Complément II : Quaternions entiers, sommes de 4 carrés et sous-groupes libres de SO(3)
- Modules sur un anneau
- Équivalence des matrices sur un anneau principal
- Modules de type fini sur un anneau principal
- Complément I : SL_n(A) et transvections
- Complément II : deux démonstrations de l'assertion d'unicité
- Représentations et modules sur l'algèbre du groupe
- Décomposition en irréductibles
- Théorie des caractères
- Exemples de tables de caractères
- Propriétés d'intégralité des caractères
- Complément I : Retour sur le déterminant d'un groupe
- Complément II : Décomposition de L^2(G)
- Complément III : Des théorèmes de Burnside et P. Hall
Partiels et examens :
Sujet du partiel 2021-2022, et un corrigé.Sujet du partiel 2022-2023, et un corrigé.
Sujet du partiel 2023-2024 (english version), et un corrigé.
Sujet de l'examen 2021-2022, et un corrigé.
Sujet de l'examen 2022-2023, et un corrigé.
Sujet de l'examen 2023-2024 (english version), et un corrigé.
Quelques références :
J. Alperin & R. Bell, Groups and representations, Springer GTM 162 (1995),M. Berger, Géométrie, tomes I et II, 2em Ed. Nathan (1990),
G. Chenevier, Théorie algébrique des nombres, cours à l'École Polytechnique (2019),
J. Conway & N. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups (1989),
J. Conway & D. Smith, On Quaternions and Octonions A. K. Peters, CRC Press (2003),
J. Conway, R. Curtis, S. Norton, R. Parker & R. Wilson, ATLAS of finite groups, Clarendon Press, Oxford (1985),
H. Coxeter, Regular Polytopes, Dover (1943),
R. & A. Douady, Algèbre et théories galoisiennes, Cassini (2005),
F. Klein, Lectures on the Icosahedron and the solution of the Fifth Degree (1994),
S. Lang, Algebra, 3eme Ed. Addison Wesley (1994),
K. Ireland & M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer GTM 84 (1972),
D. Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses (1996),
J.-P. Serre, Groupes finis, cours à l'École Normale Supérieure de Jeunes Filles (1978/1979),
J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis. Hermann,
I. Stewart & D. Tall, Algebraic Number Theory, Chapman and Hall, 2ème Ed. (1987).