Groupe de travail à l'ENS
Congruences sur la fonction τ de Ramanujan et représentations galoisiennes
Gaëtan Chenevier
Ceci est la page du groupe de travail pour les étudiants de deuxième année de l'ENS (2025/2026).
Horaires: les jeudi matin 11h00-12h30, en salle Bourbaki.
Dates du GT: du jeudi 18 septembre au jeudi 19 décembre (13 semaines).
Pas de GT les semaines du 27 octobre (vacances), du 22 et 29 décembre (vacances).
(18/09/2025) Exposé introductif (Gaëtan Chenevier).
-- Fonction de partition d'un entier
-- Formule pentagonale d'Euler
-- Fonction tau de Ramanujan
-- Congruences de Ramanujan (modulo un nombre premier)
-- L'énoncé de Deligne
(25/09/2025) Formes modulaires (Youssef Guindy).
-- Action de SL_2(Z) sur le demi-plan de Poincaré
-- Formes modulaires pour SL_2(Z)
-- Developpement de Fourier
-- Séries d'Eisenstein
-- Modularité de Delta
(2/10/2025) Classification des formes modulaires (Antoine Fisse).
-- Domaine fondamental pour l'action de SL_2(Z) sur le demi-plan de Poincaré
-- Formule k/12
-- Dimension et base des espaces de formes modulaires
-- La congruence modulo 691
(09/10/2025) Opérateurs de Hecke (Axel Helary).
-- Opérateurs de Hecke 1 : point de vue réseaux
-- Opérateurs de Hecke 2 : action sur les formes modulaire et point de vue q-développement
-- Formes modulaires propres
-- Démonstration de (R1) et (R2)
(16/10/2025) Nombres de Bernouilli et séries d'Eisenstein modulo p (Alexis De Tarlé).
-- L'anneau des p-entiers
-- Le théorème de Clausen et von Staudt
-- Congruences de Kummer
-- Séries d'Einstein modulo p
(23/10/2025) L'algèbre des formes modulaires modulo p (Philémon Varnet).
-- Formes modulaires modulo p
-- La derivation theta
-- Le théorème de structure de Swinnerton-Dyer
(30/10/2025) Vacances
(06/11/2025) Classification des congruences de type Ramanujan (Solal Eisinger)
-- Poids et filtration modulo p
-- Classification des congruences de la forme τ(p) = p^a + p^b mod ℓ
-- Classification des congruences de la forme τ(p) = 0 mod ℓ pour p non carré mod ℓ
-- Retour sur les congruences de Ramaunjan
Quelques références :
[BO] B. C. Berndt & K. Ono, Ramanujan's unpublished manuscript on the partition and τ functions with proofs and commentary, Séminaire Lotharingien de Combinatoire (1999).
[BGHT] T. Barnet-Lamb, D. Geraghty, M. Harris & R. Taylor, A family of Calabi-Yau varieties and potential automorphy II, P.R.I.M.S. 47 (2011).
[Ch1] G. Chenevier, Théorie algébrique des nombres, cours à l'École Polytechnique (2019),
[Ch2] G. Chenevier, Introduction aux formes modulaires, notes d'un mini-cours à l'ENS (2015),
[Ch3] G. Chenevier, Algèbre 1, cours à l'ENS (2021-2024),
[De] P. Deligne, Formes modulaires et représentations l-adiques, séminaire Bourbaki (1968),
[HW] G. H. Hardy & E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 4th ed. Oxford U. P. (1975),
[IR] K. Ireland & M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer GTM 84 (1972),
[Mo] L. J. Mordell, On Mr. Ramanujan's empirical epansions of modular functions, Proc. Camb. Philos. Soc. 10 (1917),
[Ra] S. Ramanujan, On certain arithmetical functions, Trans. Cambridge Philos. Soc. 22 (1916),
[Ra2] S. Ramanujan, Congruence properties of partitions, archives Trinity College Cambridge,
[Se1] J.-P. Serre, Cours d'arithmétique, P. U. F. (1970),
[Se2] J.-P. Serre, Une interprétation des congruences relatives à la fonction τ de Ramanujan, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (1967-68),
[Se3] J.-P. Serre, Congruences et formes modulaires, Séminaire Bourbaki 416 (1973),
[Wi] R. Wilton, Congruence properties of Ramanujan's funtion τ(n), Proc. London Math. Soc. 31 (1930),
[SD] H. P. F. Swinnerton-Dyer, On l-adic representations and congruences for coefficients of modular forms, Interational Summer School on Modular unctions, Antwerp (1972).
