Théorie algébrique des nombres



Cette page rassemble diverses informations sur mon cours de Master 1 à l'École Polytechnique (MAT552).

En 2016, le cours aura lieu le mercredi de 8h30 à 12h45 en PC 65, du 14 septembre au 7 décembre (inclus).
Chacune des 9 séances comprend 2 heures de cours (de 8h30 à 10h30) et 2h de travaux dirigés.
Il n'y aura pas de cours les 5, 19 et 28 octobre, ainsi que le 23 novembre.

Pour les inscrits au master de l'X, les approfondissements (EA) ont lieu les mardis après-midi, du 20 septembre au 18 octobre, puis du 8 novembre au 21 novembre, en PC 5.



Une excellente introduction à ce cours est cet article de Barry Mazur.

Programme des cours:

1. Loi de réciprocité quadratique.
2. Géométrie des nombres.
3. Formes quadratiques binaires entières I.
4. Arithmétique des entiers quadratiques imaginaires.
5. Entiers d'un corps de nombres.
6. Finitude du nombre des classes d'idéaux.
7. Factorisation unique des idéaux.
8. Formes binaires II : composition et genres.
9. La formule du nombre de classes de Dirichlet.

L'intégralité du poly du cours.

Quelques problèmes de révisions et un corrigé .

Quelques solutions d'exercices : cours 1,2 et 3, cours 4 et 5, cours 6 et 7.

Corrigé des examens des années précédentes (voir l'annexe du poly pour les énoncés).

L'examen 2016 et un corrigé.


Les références principales pour le cours sont les excellents livres suivants :

K. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Éd. Jacques Gabay (1801).
K. Ireland & M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer V. GTM 84 (1972).
P. Samuel, Théorie algébrique des nombres, Hermann Ed (1971).

On pourra enfin consulter avec profit les ouvrages suivants :

D. A. Cox, Primes of the form x2+ny2, Wiley (1989).
D. A. Marcus, Number fields, Springer V. Universitext (1977). (Contient beaucoup d'exercices)
D. Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses (1996) (Nombreux exercices).
J.-P. Serre, Cours d'arithmétique, P.U.F. (1977) (Un classique)
I. Stewart & D. Tall, Algebraic number theory, Chapman & Hall (1972) (Plus élémentaire)
H. P. F. Swinnerton Dyer, A brief guide to algebraic number theory, L. M. S. student texts 50 (2001). (Pour aller plus loin, théorie du corps de classes)